光华讲坛——社会名流与企业家论坛第 5614期

主题：Determining a random Schr{\"o}dinger equation with unknown source and potential

主讲人：南方科技大学  李景治教授

主持人：经济数学学院执行院长 马敬堂教授  

时间：2019年11月22日（周五）上午10:30

地点：西南财经大学柳林校区通博楼B412会议室

主办单位：经济数学学院  科研处

主讲人简介：

李景治，博士，南方科技大学数学系副主任、教授、博士生导师，中组部“青年千人”，2009年获香港中文大学数学系应用数学哲学博士学位,博士导师：邹军教授；2009年至2011年，在苏黎世联邦理工大学数学系做博士后,合作导师为Ralf Hiptmair。目前主要从事计算数学及相关领域，研究领域涉及到反问题理论与计算方法，形状优化与微分形式统一理论，科学计算，有限元方法和计算金融等。

内容提要：

This talk studies the direct and inverse scattering problem associated with a time-harmonic random Schr{\"o}dinger equation with a Gaussian white noise source term. We establish the well-posedness of the direct scattering problem and obtain three uniqueness results in determining the variance of the source term, the potential and the mean of the source term, sequentially, by the corresponding far-field measurements. The first one shows that a single realization of the passive scattering measurement can uniquely recover the variance of the source term, without knowing the other two unknowns. The second shows that if active scattering measurement is further used, then a single realization can uniquely recover the potential function without knowing the source term. The last one shows that if full measurements are used, then both the potential and the random source can be uniquely recovered.

针对时协随机薛定谔方程所描述的正反散射问题，我们首先建立了正问题的适定性。对于反问题，基于远场测量量，我们对源项方差、源项均值和势项依次证明了三类唯一性结果。第一，一次抽样的被动散射观测量可以唯一重构源项的方差，而不需要知道其他两项。第二，如果采用主动散射观测量，多方向入射前提下的一次抽样可以唯一重构势项，最后，全抽样与主动散射的完全观测量可以唯一重构源项均值。该结果可以推广到源项和势项双随机的情形，但后者的分析需要微局部分析和拟微分算子理论。