1930年，舒伯尼科夫(Lev Shubnikov)和德哈斯(W. J. de Haas)首次在铋单晶材料中观测到电阻随磁场的倒数呈周期性变化的现象，这一发现被称之为Shubnikov-de Haas(SdH)振荡。由此开始，输运实验中的量子振荡开始被物理学界所关注，并逐渐成为揭示新奇物理现象的一个重要研究工具。近90年中，研究者在包括金属、金属间化合物、半金属、半导体以及绝缘体在内的诸多材料及介观微结构中都发现了量子振荡。按照随磁场变化的规律可以把量子振荡分为不同的类型。目前已知的量子振荡有两大类：第一类量子振荡表现为随磁场的倒数呈周期性变化，起源于体系形成朗道能级，代表为磁电阻中的SdH振荡。目前SdH振荡已经成为探测材料费米面信息和物性的重要实验手段，参见图1（A、B）；第二类量子振荡表现为随磁场呈周期性变化，起源于介观系统中的准粒子量子干涉，例如环状和柱状结构磁电阻中的Aharonov-Bohm(AB)振荡、Altshular-Aronov-Spivak(AAS)振荡，参见图1（C、D）。历史上，每一类量子振荡的发现，都源于重要的物理机制，进而揭示出新的物理规律。

图1：量子振荡家族。(A、B)随磁场的倒数周期性变化的量子振荡，典型代表为磁电阻中的SdH振荡，起源于朗道能级的量子化；(C、D)随磁场周期性变化的量子振荡，代表为磁电阻中的AB振荡和AAS振荡，起源于准粒子的量子干涉；(E、F)随磁场的对数周期性变化的量子振荡，其物理机制为：无质量狄拉克费米子在超临界库仑吸引下形成两体准束缚态，这些满足离散标度不变性的准束缚态在磁场的影响下逐个经过费米面，引起磁电阻的对数周期量子振荡

近日，北京大学量子材料科学中心王健教授、谢心澄院士团队在高质量的三维层状拓扑材料ZrTe₅单晶中首次发现了一种新规律的量子振荡——随磁场呈对数周期的磁电阻振荡。在强磁场下，该拓扑单晶参与导电的载流子都处于最低的朗道能级，也即进入了量子极限，研究团队在该材料的量子极限以上发现了包含五个对数振荡周期的明显结构，并进一步通过在不同样品、不同磁场强度（最高58T）、不同实验设备中进行多次验证测量，最终确定了这一重要发现，参见图1（E）。

王健、谢心澄团队发现随磁场呈对数周期的量子振荡

这一发现不同于以往所有已知的量子振荡。研究团队通过详细的分析，证实传统的量子振荡理论，包括考虑了塞曼劈裂的SdH振荡，都无法解释最新发现的对数周期现象。这预示着该发现为量子振荡家族增加了一个新的成员。此外，相对于已知的量子极限以外的量子态，例如分数量子霍尔态、魏格纳晶体以及密度波相变等，该研究同时揭示了一种量子极限之外的新型量子态。

研究团队通过进一步分析，证明这一新奇发现中的磁电阻振荡对数周期性实质上是离散标度不变性的明显特征。标度不变性指体系在任何尺度下都是自相似的，体系不存在特定的特征尺度。离散标度不变性是连续标度不变性破缺的结果，其显著特征是体系的特征尺度满足等比数列。对数周期振荡是离散标度不变性的典型特征，这一特征在动物学、金融危机、地震、湍流等多种研究领域中都有所体现。在经典物理体系里，离散标度不变性存在于非线性方程导致的分形结构中，譬如著名数学物理学家庞加莱提出的庞加莱圆盘模型就是一种满足自相似性的分形结构，参见荷兰著名画家埃舍尔的画作Circle Limit III（图2A）。对于量子体系，目前已知的只有Efimov三体束缚态表现出离散标度不变的行为。近年来，Efimov三体束缚态在冷原子实验中得到了观测，进而激发了相关领域极大的研究热情。

图2：具有离散标度不变性的系统。(A)埃舍尔（M. C. Escher）版画“Circle Limit III”，代表了一种著名的分形结构——庞加莱（Poincaré）圆盘模型；(B)无质量的狄拉克费米子受到相反电荷的重费米子的库仑吸引形成的两体准束缚态与对数周期量子振荡，插图为俄罗斯套娃，可以看作是狄拉克体系中的离散标度不变性的一个生动类比

在凝聚态物理领域，狄拉克材料体系为研究离散标度不变性提供了新的平台。另一方面，相对论量子力学预言当原子序数Z满足不等式Zα>1时（其中α_~1/137是自然界中的精细结构常数），超重原子在强库仑势作用下发生塌缩现象。超重原子中的超临界塌缩现象是核物理领域的一个非常重要的研究课题，并入选Science杂志评选出的125个前沿科学问题。然而这一重要理论预言仍未得到实验的直接证实。狄拉克材料体系中的准粒子满足相对论性方程，并且体系的精细结构常数远大于真空中取值，大大降低了产生超临界坍缩态的临界电荷值，因而可以用来探究原子超临界塌缩现象。在狄拉克材料ZrTe₅中，轻空穴满足无质量狄拉克方程为相对论粒子且有效光速约为每秒450公里，远小于真空中的光速。因此体系的精细结构常数α>1，满足超临界塌缩条件，会形成有限寿命的准束缚态。轻空穴受到电子或带电杂质的库仑吸引而形成准束缚态，这些准束缚态满足离散标度不变性。由于满足超临界塌缩条件，这些准束缚态可被看作是不稳定的人造原子。当外加磁场时，随磁场不断增加准束缚态的能级逐个经过费米面，并对费米面处的载流子（也即决定材料导电特性等物性的电子空穴等准粒子）引起散射，参见图1（F）。这些准束缚态在磁场作用下经过费米面而对载流子引起的共振散射会导致电阻发生振荡。数值计算表明，这些满足离散标度不变性的准束缚态经过费米面对应的特定磁场值也满足等比数列。因此，准束缚态与载流子之间的共振散射导致磁电阻发生对数周期量子振荡。当外加磁场超过量子极限后，通常的SdH振荡不再出现，因而更有利于观测到这种新的对数周期振荡。俄罗斯套娃可以看成是这种狄拉克体系中的离散标度不变性的一个生动类比，参见图2（B）。同时，这一研究表明拓扑材料体系可用于研究超临界原子塌缩现象，该体系中的准束缚态及其离散标度不变性具有新的特征，拓宽了我们对超临界原子塌缩的认识。

在此工作基础上，王健研究团队发现，这种有趣的对数周期量子振荡(离散标度不变性)可能普遍存在于具有库仑吸引的拓扑材料中(arXiv:1810.03109)，进一步证实了ZrTe₅中对数周期量子振荡的发现。这一发现揭示出一定条件下拓扑材料或狄拉克系统可以作为同时观测原子超临界坍缩及其离散标度不变性的实验平台，因此可以超出凝聚态物理的范畴，为探究新奇的相对论量子现象提供了一个重要的实验工具。

这项工作以“Discovery of log-periodic oscillations in ultraquantum topological materials”为题，于美国东部时间2018年11月2日发表于著名学术期刊Science Advances【Science Advances, 4, eaau5096 (2018). DOI: 10.1126/sciadv.aau5096】。北京大学王慧超博士、北京师范大学刘海文研究员为共同第一作者，王健和谢心澄为文章共同通讯作者。该工作的合作者包括武汉强磁场中心王俊峰研究员、李亮教授，浙江大学王勇教授，香港理工大学戴吉岩教授，美国橡树岭国家实验室Jiaqiang Yan教授、David Mandrus教授等。威斯康星大学Robert Joynt教授、波士顿大学汪自强教授和清华大学翟荟教授在理论上提供了诸多建议。

这项工作得到国家重点研发计划、国家自然科学基金、高等学校博士学科点专项科研基金、华中科技大学脉冲强磁场开放项目、中国科学院先导培育项目、US Department of Energy, Office of Science, Basic Energy Sciences, Materials Sciences and Engineering Division、Gordon and Betty Moore Foundation’s EPiQS Initiative、Postdoctoral Fellowships Scheme of the Hong Kong Polytechnic University等经费支持。

编辑：麦洛